On considère la droite \(\mathscr D\) passant par \(A=(1,-2,0)\) et dirigée par \(\overrightarrow{u}=(1,1,-1)\). Soit \(B=(0,1,-2)\) un point de l’espace.

  1. Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(B\) sur \(\mathscr D\).

  2. Calculer de deux manières différentes la distance de \(B\) à la droite \(\mathscr D\).


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[ID: 254] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 255
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51
  1. L’équation paramétrique de \(\mathscr D\) est : \(\begin{cases}x&=1+t\\y&=-2+t\\z&=-t \end{cases};\quad t\in\mathbb{R}\). De plus, une équation du plan normal à \(\overrightarrow{u}\) passant par \(B\) est : \(x+y-z-3=0\). Le point \(H\) forme l’intersection de ce plan et de la droite \(\mathscr D\) et ses coordonnées satisfont le système : \[\begin{cases}x=1+t\\y=-2+t\\z=-t \\x+y-z-3=0 \end{cases}.\] Par conséquent \(\boxed{H\left( 7/3,-2/3,-4/3 \right)}\).

  2. La distance de \(B\) à la droite \(\mathscr D\) est donnée par \(\left\|\overrightarrow{BH}\right\| = \boxed{ \sqrt{{\scriptstyle{26}\over\scriptstyle 3}} }\). On a aussi  : \(d\left(B,\mathscr D\right) = \dfrac{\left\|\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{AB}\right\|}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|} = \boxed{ \sqrt{{\scriptstyle{26}\over\scriptstyle 3}} }\).


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