Soit \(V\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(d\) et \(f\in \mathcal L (V)\).

  1. Montrer que la suite \((\mathop{\rm rg}\nolimits(f^n ))\) converge. On note \(r(f)\) sa limite.

  2. Montrer que si \(f\circ g=g\circ f\) alors \(r(f+g)\leq r(f)+r(g)\). Trouver un contre-exemple si \(g\circ f\neq f\circ g\).

  3. Exprimer \(r(f)\) à partir du polynôme caractéristique de \(f\).


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[ID: 3896] [Date de publication: 14 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Rangs itérés, ULC 2010
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:21
  1. La suite est décroissante minorée, donc elle converge.

  2. On écrit \(\chi_f=(-1)^n \prod _{k=1}^p(X-\lambda _k)^{m_k}\). Les théorèmes de Cayley-Hamilton et de décomposition des noyaux donnent \(V=\oplus _{k=1}^p \mathop{\rm Ker}\nolimits(f-\lambda _k \mathop{\rm id}\nolimits)^{m_k}\). La matrice de \(f\) dans une base adaptée à cette somme directe est diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme \(\lambda _k I+N_k\), avec \(N_k\) nilpotente. On voit alors que \(r(f)=d-m_{0}\), \(m_{0}\) multiplicité de la valeur propre \(0\) (éventuellement \(m_{0} =0\)). Si \(g\) commute avec \(f\) alors les sous-espaces \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(f-\lambda _k \mathop{\rm id}\nolimits)^{m_k}\) sont stables par \(g\). On considère \(w\) l’endomorphisme de \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^{m_{0} }\) induit par \(g\). On a \(Ker f^{m_{0} }=\oplus _{k=1}^q \mathop{\rm Ker}\nolimits(w-\mu _k\mathop{\rm id}\nolimits)^{n_k}\). Chacun de ces sous-espaces est stable par \(f\), on fait une trigonalisation forte de la restriction de \(f\). La matrice de \(f+g\) dans la base ainsi construite sera diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme \(\mu _k I+\tilde N_k\). On rajoute donc au plus \(r(g)\) coefficients diagonaux non nuls. On en déduit que \(r(f+g)\leq r(f)+r(g)\).

  3. On a vu à la question précédente que \(r(f)=d-m_{0}\).


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