Soient \(S,R\in GL_n(\mathbb{C})\) telles que \(S^2 =R^3=I_n\) et \(RS=SR^{-1}\). Montrer que \(S\) et \(R\) sont simultanément diagonalisables par blocs, avec des blocs de taille 1 ou 2.


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[ID: 3894] [Date de publication: 14 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Ens Lyon MP 2012
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:21

La propriété est immédiate si \(n=1\) ou \(n=2\). On procède alors par récurrence en supposant la propriété vraie pour tout \(k<n\). Soient \(S\) et \(R\) vérifiant les hypothèses pour \(n\) :

on a \(\mathbb{C}^n =\mathop{\rm Ker}\nolimits(R-I_n)\oplus \mathop{\rm Ker}\nolimits(R^2 +R+I_n)\) et ces deux sous-espaces sont stables par \(R\) et \(S\). En effet, la stabilité par \(R\) est évidente et si \(RX=X\) alors \(RSX=SR^{-1}X=SX\). De même, si \((R^2 +R+I_{n+1})X=0\), alors \((R^2 +R+I_n)SX=R^2 SX+RSX+SX=SRX+SR^2 X+SX=S(X+RX+R^2 X)=0\).

Si aucun de ces sous-espaces n’est égal à \(\mathbb{C}^n\) alors on peut appliquer l’hypothèse de récurrence aux endomorphismes induits par les restrictions de \(R\) et de \(S\).

Si \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(R-I_n)=\mathbb{C}^n\) alors \(R=I_n\) et \(R,S\) sont simultanément diagonalisables.

Si \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(R^2 +R+I_n)=\mathbb{C}^n\), alors \(0=R^2 +R+I_n=(R-jI_n)(R-j^2 I_n)\). Soit \(X\) tel que \(RX=jX\). Alors \(RSX=SR^2 X=S(-R-I_n)X=S(-j-1)X=j^2 SX\). On en déduit \(S\) induit un isomorphisme de \(E_j(R)\) sur \(E_{j^2 }(R)\) (on savait que ces deux sous-espaces étaient de même dimension car \(R\) est semblable à \(R^{-1}\). On prend donc \((X_{1},X_{2},\dots,X_q)\) une base de \(E_j(R)\). Alors \((X_{1},SX_{1},\dots,X_q,SX_q)\) est une base dans laquelle les matrices des endomorphismes représentés par \(R\) et \(S\) dans la base canonique sont diagonales par blocs, chaque bloc étant de la forme \(\begin{pmatrix}j & 0\\ 0 & j^2 \\\end{pmatrix}\) pour \(R\) et \(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\\\end{pmatrix}\) pour \(S\).


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