Déterminer le sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) engendré par les matrices nilpotentes.


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[ID: 3892] [Date de publication: 14 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Matrices nilpotentes, Mines MP 2012
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:21

Soit \(V\) ce sous-espace. \(V\) contient toutes les matrices \(E_{ij}\) de la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telles que \(i\neq j\), donc toutes les matrices à diagonale nulle. Par ailleurs \(V\) est inclus dans l’hyperplan constitué des matrices à trace nulle. Reste donc à étudier le cas des matrices diagonales à trace nulle. Ces matrices sont engendrées par les matrices \(E_{11}-E_{jj}\) pour \(j\in \textlbrackdbl 2,n\textlbrackdbl\).

On a \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\\\end{pmatrix}\) et ces trois matrices sont nilpotentes, donc toute matrice \(E_{11}-E_{jj}\) est combinaison linéaire de nilpotentes et \(V\) est l’ensemble des matrices de trace nulle.


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