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[ID: 3890] [Date de publication: 14 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Trigonalisation ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

\(\left\|g - \mathop{\rm id}\nolimits\right\| < 1\), Ulm MP 2012
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:21

Soit \(g\in G\) et \(\lambda \in \mathbb{C}\) une valeur propre de \(g\) où \(g\) est considérée comme une matrice complexe. La suite \((g^k)_{k\in \mathbb{Z}}\) est à valeurs dans \(G\), donc est bornée dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Il en résulte que la suite \((\lambda ^k)_{k\in \mathbb{Z}}\) est bornée dans \(\mathbb{C}\), soit : \(|\lambda |=1\). De même, \((g-\mathop{\rm id}\nolimits)^k\to 0\) quand \(k\to +\infty\) dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) puis dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), donc \((\lambda -1)^k\to 0\), soit : \(|\lambda -1|<1\) et plus généralement \(|\lambda ^p-1|<1\) pour tout \(p\in \mathbb{N}\). Ceci implique \(\lambda =1\). Ainsi \(1\) est l’unique valeur propre de \(g\). On écrit alors \(g=\mathop{\rm id}\nolimits+h\) avec \(h\) nilpotente, d’où \(g^k=\mathop{\rm id}\nolimits+kh+\binom{k}{2}h^2 +\dots+\binom{k}{n-1}h^{n-1}\) est un polynôme en \(k\) à valeurs bornées quand \(k\) décrit \(\mathbb{N}\). Ceci implique \(h=0\) et finalement \(g=\mathop{\rm id}\nolimits\).