Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), et \(f \in \mathcal L (E)\). Montrez que \(f\) est diagonalisable si et seulement s’il existe \(H_{1},\dots,H_n\) des hyperplans de \(E\) stables par \(f\) tels que \(\bigcap_{i=1}^n H_i = \{ 0\}\).


Barre utilisateur

[ID: 3878] [Date de publication: 14 mars 2024 22:19] [Catégorie(s): Sous-espaces stables ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Mines 2017
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:19

La condition est nécessaire : prendre une base propre pour \(f\) et considérer les hyperplans engendrés par \(n-1\) de ces vecteurs propres. On démontre sa suffisance par récurrence sur \(n\) :

Le cas \(n=1\) est trivial.

Dans le cas général, il résulte de la formule de Grassman que si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces de \(E\) on a \(\mathop{\rm codim}\nolimits(F\cap G)\leq \mathop{\rm codim}\nolimits(F)+\mathop{\rm codim}\nolimits(G)\)\(\mathop{\rm codim}\nolimits(X) = \dim(E)-\dim(X)\). Puis, par itération : \(\mathop{\rm codim}\nolimits(H_{1}\cap \dots\cap H_p)\leq p\) pour tous hyperplans \(H_{1},\dots,H_p\). En conséquence \(\dim(H_{1}\cap \dots\cap H_{n-1})\geq 1\) et le fait que ce sous-espace ait une intersection avec \(H_n\) nulle implique \(\dim(H_{1}\cap \dots\cap H_{n-1})\leq 1\). Ainsi \(H_{1}\cap \dots\cap H_{n-1}\) est une droite stable par \(f\) et \(H_n\) est un hyperplan lui aussi stable par \(f\) et supplémentaire de \(H_{1}\cap \dots\cap H_{n-1}\). Les sous-espaces \(H'_i = H_i\cap H_n\) (\(i\leq n-1\)) sont des hyperplans de \(H_n\) (s’il y en a un égal à \(H_n\), l’intersection complète ne peut être nulle vu sa codimension). Ils sont stables par \(f\) et leur intersection est nulle. Par hypothèse de récurrence, il existe une base de \(H_n\) propre pour \(f\) et on la complète avec un vecteur non nul dans \(H_{1}\cap \dots\cap H_{n-1}\).


Documents à télécharger