Soit \(f\in \mathcal L (\mathbb{R}^3)\) ayant pour matrice \(M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). Déterminer les sous-espaces de \(\mathbb{R}^3\) stables par \(f\).


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[ID: 3876] [Date de publication: 14 mars 2024 22:19] [Catégorie(s): Sous-espaces stables ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Sous-espaces stables, Centrale MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:19

\(\mathop{\rm sp}\nolimits(f) = \{ 0,1,2\}\) donc \(f\) est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de dimension \(1\). Comme la restriction d’un diagonalisable à un sous-espace stable est encore diagonalisable, les sous-espaces stables par \(f\) sont les huit sous-sommes de \(E_{0} \oplus E_{1}\oplus E_{2}\).


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