Soit \(E\) un espace vectoriel, \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que tout sous-espace de \(E\) admette un supplémentaire stable par \(f\). Que peut-on dire de \(f\) ? Réciproque ?


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[ID: 3874] [Date de publication: 14 mars 2024 22:19] [Catégorie(s): Sous-espaces stables ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Endomorphisme semi-simple, Polytechnique MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:19

Si \(E\) est de dimension finie, soit \(F\) un hyperplan de \(E\), \(〈e〉\) un supplémentaire stable et \(H\) un supplémentaire de \(〈e〉\) stable. Si \(K\) est un sev de \(H\), alors \(K\) admet un supplémentaire \(K'\) dans \(E\) stable et \(H\cap K'\) est un sev de \(H\) stable, en somme directe avec \(K\). \(K'\not \subset H\) car \(K\subset H\) et \(K\oplus K' = E\) donc \(K'+H = E\) et \(\dim(H\cap K') = \dim(H)+\dim(K')-\dim(E) = \dim(H)-\dim(K)\) soit \(K\oplus (H\cap K') = H\). \(f_{|H}\) vérifie la même propriété que \(f\) et on obtient par récurrence que \(f\) est diagonalisable.

Réciproquement, soit \(f\) diagonalisable, \(F\) un sev de \(E\) et \((e_{1},\dots,e_n)\) une base propre pour \(f\). On montre que \(F\) admet un supplémentaire stable par récurrence sur \(\mathop{\rm codim}\nolimits(F)\) : si \(F=E\) alors \(\{ 0\}\) convient et si \(F\neq E\) alors il existe \(i\) tel que \(e_i\not\in F\) d’où \(F\oplus 〈e_i〉\) est un sur-espace strict de \(F\), admettant un supplémentaire \(G\) stable, d’où \(G\oplus 〈e_i〉\) est supplémentaire de \(F\) stable.

Cas \(E\) de dimension infinie : ???


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