Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), espace vectoriel de dimension \(n\) sur le corps \(\mathbb{K}\). Montrez que seuls \(\{ 0\}\) et \(E\) sont stables par \(u\) si et seulement si \(\chi_u\) est irréductible sur \(\mathbb{K}\).


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[ID: 3871] [Date de publication: 14 mars 2024 22:19] [Catégorie(s): Sous-espaces stables ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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\(\chi_u\) irréductible
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:19

Si \(\chi_u\) est irréductible, pour \(x\neq 0\) le polynôme minimal de \(x\) en \(u\) est égal à \(\chi_u\) donc le sous-espace cyclique engendré par \(x\) est égal à \(E\) et il n’y a pas de sous-espace stable non trivial.

Si seuls \(\{ 0\}\) et \(E\) sont stables, soit \(x\neq 0\). Le sous-espace cyclique engendré par \(x\) est égal à \(E\) donc l’annulateur minimal de \(u\) en \(x\) est égal à \(\chi_u\). Soit \(P\) un diviseur non trivial de \(\chi_u\) et \(y = P(u)(x)\) : l’annulateur minimal de \(u\) en \(y\) est \(\chi_u/P\), absurde.


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