Soit \(A = \begin{pmatrix}1 &1 &0 \\ -3 &-2 &0 \\ 0 &0 &1\end{pmatrix}\).

  1. Déterminer les sev de \(\mathbb{R}^3\) stables pour l’endomorphisme associé à \(A\).

  2. Quelles sont les matrices réelles commutant avec \(A\) ?


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[ID: 3867] [Date de publication: 14 mars 2024 22:19] [Catégorie(s): Sous-espaces stables ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Recherche de sev stables
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:19
  1. Valeurs propres : \(1,j,j^2\). sev stables : \(\{ 0\}\), \(〈e_{3} 〉\), \(〈e_{1},e_{2}〉\) et \(\mathbb{R}^3\).

  2. \(AB = BA \Rightarrow \varphi _B(e_{3} ) = \lambda e_{3}\), \({ }^t\!A{ }^tB = { }^tB{ }^t\!A \Rightarrow \varphi _{{ }^tB}(e_{3} ) = \lambda e_{3}\), d’où \(B = \begin{pmatrix}a+\mu &a &0 \\ -3a &-2a+\mu &0 \\ 0 &0 &\lambda \\\end{pmatrix}\).


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