Soit \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(\lambda = a+ib\) une valeur propre non réelle de \(M\) (\(a \in \mathbb{R}\), \(b \in \mathbb{R}^*\)). On note X un vecteur propre complexe de \(M\).

  1. Montrer que \(\overline X\) est aussi vecteur propre de \(M\).

  2. Montrer que \((X,\overline X)\) est libre dans \(\mathbb{C}^n\).

  3. Soient \(U = \frac12(X+\overline X)\), \(V = \frac1{2i}(X-\overline X)\). Montrer que \((U,V)\) est libre dans \(\mathbb{R}^n\).

  4. Soit \(F = \mathop{\rm vect}\nolimits(U,V)\). Montrer que \(F\) est stable par \(\varphi\) (endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) associé à \(M\)) et donner la matrice de \(\varphi _{|F}\) dans la base \((U,V)\).

Barre utilisateur

[ID: 3865] [Date de publication: 14 mars 2024 22:19] [Catégorie(s): Sous-espaces stables ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Documents à télécharger

Plan stable pour une valeur propre non réelle
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice