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[ID: 3862] [Date de publication: 14 mars 2024 22:18] [Catégorie(s): Image et noyau ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

\(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 ) = 2\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits f)\), Mines-Ponts MP 2005
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:18

En appliquant le théorème du rang à \(f_{|\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 }\), on a : \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 ) = \dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits f) + \dim(f(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 ))\), et \(f(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 )\subset \mathop{\rm Ker}\nolimits f\), donc \(f(\mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 )= \mathop{\rm Ker}\nolimits f\). Soit \(G_i = \mathop{\rm Ker}\nolimits g^i\). Montrons que \(g(G_{i+1}) = G_i\) pour tout \(i\in \textlbrackdbl 0,k\textlbrackdbl\) : si \(x\in G_{i+1}\) alors \(g^i(g(x)) = g^{i+1}(x) = 0\) donc \(g(x)\in G_i\). Réciproquement, si \(y\in G_i\) alors \(y\in G_k = f(G_{2k})\), donc \(y\) a un antécédant \(x\) par \(f\), cet antécédant appartient à \(G_{i+k}\), et \(y = g(g^{k-1}(x)) \in g(G_{i+1})\).

On en déduit, avec le théorème du rang appliqué à \(g_{|G_{i+1}}\), que \(\dim(G_{i+1}) = \dim(G_i) + \dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits g)\) pour tout \(i\in {\textlbrackdbl 0,k\textlbrackdbl }\), d’où \(d = \dim(G_k) = \dim(G_{0} ) + k\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits g) = k\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits g)\).