Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie et \(u\in \mathcal L (E)\). Montrer que les ensembles \(\mathcal K = \{ \mathop{\rm Ker}\nolimits(P(u))\), \(P\in \mathbb{K}[X]\}\) et \(\mathcal I = \{ \mathop{\rm Im}\nolimits(P(u))\), \(P\in \mathbb{K}[X]\}\) sont finis et ont même cardinal.


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[ID: 3860] [Date de publication: 14 mars 2024 22:18] [Catégorie(s): Image et noyau ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:18

Soit \(\mu\) le polynôme minimal de \(u\) et \(\mathcal D\) l’ensemble des diviseurs unitaires de \(\mu\). Pour \(P\in \mathbb{K}[X]\) et \(d=P\wedge \mu\) on a facilement \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(P(u)) = \mathop{\rm Ker}\nolimits(d(u))\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits(P(u)) = \mathop{\rm Im}\nolimits(d(u))\). Ceci montre déjà que \(\mathcal K\) et \(\mathcal I\) sont finis.

De plus, si \(d\in \mathcal D\) alors l’annulateur minimal de \(u_{|\mathop{\rm Im}\nolimits(d(u))}\) est \(\mu /d\) donc l’application \(d\mapsto \mathop{\rm Im}\nolimits(d(u))\) est injective sur \(\mathcal D\) et \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal I ) = \mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal D )\). De même, l’annulateur minimal de \(u_{|\mathop{\rm Ker}\nolimits(d(u))}\) est \(d\) car \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(d(u)) \supset \mathop{\rm Im}\nolimits(\frac\mu d(u))\) et \(d\) est l’annulateur minimal de \(u_{|\mathop{\rm Im}\nolimits(\frac\mu d(u))}\) donc l’application \(d\mapsto \mathop{\rm Ker}\nolimits(d(u))\) est injective sur \(\mathcal D\) et \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal K ) = \mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal D )\).


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