Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie et \(f \in \mathcal L (E)\). On suppose qu’il existe \(P\in \mathbb{K}[X]\) tel que \(P(f) = 0\) et \(P'(0)\neq 0\). Montrer que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f \oplus \mathop{\rm Im}\nolimits f = E\).

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[ID: 3857] [Date de publication: 14 mars 2024 22:17] [Catégorie(s): Image et noyau ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\mathop{\rm Ker}\nolimits f \oplus \mathop{\rm Im}\nolimits f\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:17

Si \(P(0)\neq 0\) alors \(f\) est bijective. Si \(P(0) = 0\) alors \(f^2 \circ \text{qqch} = -P'(0)f\Rightarrow \mathop{\rm Ker}\nolimits f^2 = \mathop{\rm Ker}\nolimits f\).

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