Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie et \(u \in \mathcal L (E)\) tel que \(\chi_u\) est scindé. Pour \(\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(u)\), on note \(E_\lambda = \mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits)\) et \(F_\lambda = \mathop{\rm Im}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits)\). Montrer que \(u\) est diagonalisable si et seulement si pour tout \(\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(u)\), \(E_\lambda \oplus F_\lambda = E\).

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[ID: 3856] [Date de publication: 14 mars 2024 22:17] [Catégorie(s): Image et noyau ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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\(u\) est diagonalisable \(\Leftrightarrow \mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits) + \mathop{\rm Im}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits)\) est directe
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