Soit \(A=\begin{pmatrix}a^2 &ab &ab &b^2 \\ ab &a^2 &b^2 &ab \\ ab &b^2 &a^2 &ab \\ b^2 &ab &ab &a^2 \\\end{pmatrix}\). Représenter dans un plan l’ensemble des couples \((a,b)\) tels que \(A^m\to _{m\to +\infty }0\).

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[ID: 3853] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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\(A^m\to _{m\to +\infty }0\), Mines MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16

En prenant \(P=\begin{pmatrix}I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}\) on trouve \(P^{-1}MP = \begin{pmatrix}a^2 -ab &ab-b^2 &0 &0 \\ ab-b^2 &a^2 -ab &0 &0 \\ 0 &0 &a^2 +ab &b^2 +ab \\ 0 &0 &b^2 +ab &a^2 +ab \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}M_{1}&0\\0&M_{2}\end{pmatrix}\).

En prenant \(P_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\) on a \(P_{1}^{-1}M_{1}P_{1} = \begin{pmatrix}{(a-b)^2 }&0\\0&a^2 -b^2 \end{pmatrix}\) et \(P_{1}^{-1}M_{2}P_{1} = \begin{pmatrix}a^2 -b^2 &0\\0&{(a+b)^2 }\end{pmatrix}\).

Ainsi, \(\mathop{\rm sp}\nolimits(A) = \{ (a+b)^2 ,(a-b)^2 ,(a+b)(a-b)\}\), donc l’ensemble cherché est la boule unité ouverte pour \(\left\|\ \right\|_{1}\).

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