Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(B = \begin{pmatrix}0&A\\ A&2A\end{pmatrix}\in \mathcal M _{2n}(\mathbb{R})\). Déterminer \(\mathop{\rm sp}\nolimits(B)\) et fonction de \(\mathop{\rm sp}\nolimits(A)\).

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[ID: 3851] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Réduction par blocs, Centrale MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16

Calcul du polynôme caractéristique de \(B\) par opérations en blocs. On obtient \[\chi_B(x) = \det(x^2 I-2xA-A^2 ) = (-1)^n \chi_A\Bigl(\dfrac x{1+\sqrt 2}\Bigr)\chi_A\Bigl(\dfrac x{1-\sqrt 2}\Bigr)\] donc \[\mathop{\rm sp}\nolimits(B) = \{ (1+\sqrt 2)\lambda ,\ \lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(A)\} \cup \{ (1-\sqrt 2)\lambda ,\ \lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(A)\} .\]

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