Soit \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle, \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(M = \begin{pmatrix}A &0 \\ A &A\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{K})\).

  1. Comparer les valeurs propres de \(A\) et \(M\).

  2. Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) et \(Q = XP'\). Montrer que \(P(M) = \begin{pmatrix}{P(A)}& 0 \\{Q(A)}&{P(A)}\end{pmatrix}\).

  3. A quelle condition sur \(A\), \(M\) est-elle diagonalisable ?


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[ID: 3843] [Date de publication: 14 mars 2024 22:16] [Catégorie(s): Réduction par blocs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Matrice bloc
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:16
  1. Par récurrence pour \(P = X^k\), puis par linéarité.

  2. Si \(M\) est diagonalisable, on prend \(P=\mu _M\) : donc \(\mu _A\) divise \(P\) et \(XP'\) et \(P\) est scindé à racines simples. La seule racine simple possible est \(0\), d’où \(A=0\).


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