Si \(A\in M_n(\mathbb{C})\), on note \(\mathcal C (A)\) le commutant de \(A\).

  1. Pour \(n=2\), montrer que \(\mathcal C (A)\) est de dimension \(2\) ou \(4\), en donner une base.

  2. Pour \(n\in \mathbb{N}^*\), montrer que \(\mathcal C (A)\) est de dimension \(\geq n\) (traiter d’abord le cas où \(A\) est diagonalisable).


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[ID: 3838] [Date de publication: 14 mars 2024 22:15] [Catégorie(s): Usage de la réduction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Commutant, Centrale MP 2000
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:15
  1. Par similitude on se ramène aux cas : \(A=\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}\), \(\mathcal C (A) = \mathcal M _2(\mathbb{C})\) ou \(A=\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\mu \end{pmatrix}\), \(\mathcal C (A) = \mathbb{C}[A]\) ou \(A=\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}\), \(\mathcal C (A) = \mathbb{C}[A]\).

  2. Si \(A\) est diagonalisable de valeurs propres \(\lambda _i\) avec les multiplicités \(n_i\) alors \(\dim(\mathcal C (A)) = \sum n_i^2 \geq n\).

    Dans le cas général, soit \((A_k)\) une suite de matrices diagonalisables convergeant vers \(A\) et \((C_k^1 ,\dots,C_k^n )\) une suite de \(n\)-uplets de matrices commutant avec \(A_k\) telles que \((C_k^1 ,\dots,C_k^n )\) est une famille orthonormale pour un produit scalaire quelconque choisi sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Par compacité il existe une sous-suite convergente, donc \(n\) matrices \(C_\infty ^i\) formant une famille orthonormale et commutant avec \(A\) d’où \(\dim(\mathcal C (A))\geq n\).


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