1. Soit \(D = \mathop{\rm diag}\nolimits(\lambda _{1},\dots,\lambda _n)\) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.

    1. Montrer qu’une matrice \(M\) commute avec \(D\) si et seulement si \(M\) est diagonale.

    2. Montrer que pour toute matrice \(M\) diagonale, il existe un polynôme \(P \in \mathbb{K}_{n-1}[X]\) unique tel que \(M = P(D)\).

  2. Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) une matrice à valeurs propres distinctes. Montrer que les matrices \(M\) commutant avec \(A\) sont les polynômes en \(A\).


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[ID: 3829] [Date de publication: 14 mars 2024 22:14] [Catégorie(s): Usage de la réduction ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Commutant d’une matrice à valeurs propres distinctes
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