Soit \(f\) un endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\).

  1. On suppose que pour tout sous-ev \(D\) de dimension 1 il existe \(x\in D\) tel que \(E = \mathop{\rm vect}\nolimits(x,f(x),f^2 (x),\dots)\). Que dire de \(E\) et \(f\) ?

  2. On suppose qu’il existe \(x\in E\) tel que \(E = \mathop{\rm vect}\nolimits(x,f(x),f^2 (x),\dots)\). Montrer que si \(f\) est diagonalisable alors ses valeurs propres sont toutes distinctes. Montrer que si \(f\) est nilpotente alors \(f^{n-1}\neq 0\).


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[ID: 3825] [Date de publication: 14 mars 2024 22:14] [Catégorie(s): Usage de la réduction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Endomorphisme cyclique
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:14
  1. Le polynôme minimal de \(f\) est de degré supérieur ou égal à \(n\) et n’a pas de diviseurs non triviaux. Donc \(\dim E = 1\) et \(f\) est une homothétie si \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\). Si \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) on peut aussi avoir \(\dim E = 2\) et \(f\) n’a pas de valeurs propres réelles.


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