Soit \((u_n)\) une suite réelle vérifiant l’équation de récurrence : \(u_{n+3} = 6u_{n+2} - 11u_{n+1} + 6u_n\).

  1. On pose \(X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ u_{n+1} \\ u_{n+2}\end{pmatrix}\). Montrer qu’il existe une matrice \(A \in \mathcal M _3(\mathbb{R})\) telle que \(X_{n+1} = AX_n\).

  2. Diagonaliser \(A\). En déduire \(u_n\) en fonction de \(u_{0}\), \(u_{1}\), \(u_{2}\) et \(n\).


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[ID: 3823] [Date de publication: 14 mars 2024 22:14] [Catégorie(s): Usage de la réduction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Suites récurrentes linéaires
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:14
  1. \(P = \begin{pmatrix}1 &1 &1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 &4 &9\end{pmatrix}\), \(D = \mathop{\rm diag}\nolimits(1,2,3)\).

    \(2u_n = (6-6.2^n +2.3^n )u_{0} + (-5+8.2^n -3.3^n )u_{1} + (1-2.2^n +3^n )u_{2}\).


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