Soit \(A \in \mathcal M _3(\mathbb{R})\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et \(n\in \mathbb{N}\).

  1. Montrer que \(A^n\) peut s’écrire sous la forme : \(A^n = \alpha _nA^2 + \beta _nA + \gamma _nI\) avec \(\alpha _n,\beta _n,\gamma _n \in \mathbb{R}\).

  2. On considère le polynôme \(P = \alpha _nX^2 + \beta _nX + \gamma _n\). Montrer que : \(P(1) = 1\), \(P(2) = 2^n\), \(P(-2) = (-2)^n\).

  3. En déduire les coefficients \(\alpha _n,\beta _n,\gamma _n\).


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[ID: 3821] [Date de publication: 14 mars 2024 22:14] [Catégorie(s): Usage de la réduction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Puissances de \(A\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:14
  1. \(\alpha _n = -\frac13 + \frac {2^n }4 + \frac {(-2)^n }{12}\), \(\beta _n = \frac {2^n - (-2)^n }4\), \(\gamma _n = \frac43 - \frac {2^n }2 + \frac {(-2)^n }{6}\).


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