Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) nilpotente. Montrer que \(A\) et \(2A\) sont semblables.


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[ID: 3817] [Date de publication: 14 mars 2024 22:13] [Catégorie(s): Similitude ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(A\) et \(2A\) sont semblables
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:13

Soit \(f\) un endomorphisme d’un ev \(E\) ayant \(A\) pour matrice. On doit trouver \(g\in GL(E)\) tel que \({f\circ g = 2g\circ f}\). Construction de \(g\) par récurrence sur \(n=\dim E\).

\(n\leq 1\) : on a \(f=0\) donc \(g=\mathop{\rm id}\nolimits_E\) convient.

\(0,\dots,n-1\Rightarrow n\) : \(f\) est non surjectif donc l’hypothèse de récurrence s’applique à \(f_{|\mathop{\rm Im}\nolimits(f)}\).

Soit \(g_{1} \in GL(\mathop{\rm Im}\nolimits(f))\) tel que \(f(g_{1}(x)) = 2g_{1}(f(x))\) pour tout \(x\in \mathop{\rm Im}\nolimits(f)\). Soit \(E = H \oplus I \oplus K \oplus L\) avec \(H=\mathop{\rm Im}\nolimits(f)\cap \mathop{\rm Ker}\nolimits(f)\), \(H \oplus I = \mathop{\rm Im}\nolimits(f)\) et \(H \oplus K = \mathop{\rm Ker}\nolimits(f)\). La restriction de \(f\) à \(I\oplus L\) induit un isomorphisme sur \(\mathop{\rm Im}\nolimits(f)\), on note \(\varphi\) l’isomorphisme réciproque. Soit \(g\in \mathcal L (E)\) définie par :

\[g(h+i+k+l ) = g_{1}(h+i) + k + 2\varphi (g_{1}(f(l ))).\]

On vérifie facilement que \(f\circ g = 2g\circ f\) et il reste à prouver que \(g\) est injective. Si \(x=h+i+k+l \in \mathop{\rm Ker}\nolimits g\) alors \(g(f(x)) = g_{1}(f(i+l )) = 0\) donc \(i+l \in \mathop{\rm Ker}\nolimits f = H\oplus K\) soit \(i=l =0\). Il reste \(g_{1}(h)+k=0\) ce qui implique \(h=k=0\) car \(g_{1}(h)\in \mathop{\rm Im}\nolimits f = H\oplus I\).

Remarque : la démonstration passe à tout corps de caractéristique différente de \(2\).


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