Soit \(f\in \mathcal L (\mathbb{R}^3)\) telle que \(\mathop{\rm sp}\nolimits(f) = \{ \lambda \}\) et \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits(f-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits))=2\).

Montrer qu’il existe une base \(\mathcal B\) dans laquelle \(\mathop{\rm Mat}\nolimits(f) = \begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &1\\0&0&\lambda \end{pmatrix}\).


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[ID: 3815] [Date de publication: 14 mars 2024 22:13] [Catégorie(s): Similitude ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Réduction de Jordan, Mines MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:13

On se ramène à \(\lambda =0\) en remplaçant \(f\) par \(f-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits\). \(\mathop{\rm Im}\nolimits f\) est de dimension \(1\) stable par \(f\) donc \(f_{|\mathop{\rm Im}\nolimits f}\) est une homothétie, c’est l’application nulle vu \(\mathop{\rm sp}\nolimits(f)\). On en déduit \(\mathop{\rm Im}\nolimits f\subset \mathop{\rm Ker}\nolimits f\). Soit \(e_{2}\in \mathop{\rm Im}\nolimits f\setminus \{ 0\}\), \(e_{3}\) un antécédant de \(e_{2}\) par \(f\) et \(e_{1}\in \mathop{\rm Ker}\nolimits f\) indépendant de \(e_{2}\). Alors \(\mathcal B = (e_{1},e_{2},e_{3} )\) convient.


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