Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal M _3(\mathbb{C})\) telles que \(A^3\) est semblable à \(A^4\) ? On étudiera séparément les cas :

  1. \(A\) a trois valeurs propres distinctes.

  2. \(A\) a deux valeurs propres distinctes

  3. \(A\) a une seule valeur propre.


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[ID: 3812] [Date de publication: 14 mars 2024 22:12] [Catégorie(s): Similitude ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(A^3\) est semblable à \(A^4\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:13
  1. \(A ~ \mathop{\rm diag}\nolimits(1,\alpha ,\alpha ^{-1})\)\(\alpha\) est une racine primitive \(7^{\text{ème}}\) de \(1\),

    \(A ~ \mathop{\rm diag}\nolimits(\alpha ,\alpha ^{10},\alpha ^{-11})\)\(\alpha\) est une racine primitive \(37^{\text{ème}}\) de \(1\).

  2. pas de solution.

  3. vp\({ } = 0\) ou \(1\).


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