Soit \(A = \begin{pmatrix}-1&\phantom-2&0\\ 2&2&-3 \\ -2&2&1\end{pmatrix}\) et \(\varphi\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

  1. Vérifier que \(A\) n’est pas diagonalisable.

  2. Chercher deux vecteurs propres de \(A\) linéairement indépendants.

  3. Compléter ces vecteurs en une base de \(\mathbb{R}^3\).

  4. Écrire la matrice de \(\varphi\) dans cette base.

  5. Résoudre le système différentiel : \(X' = AX\).

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[ID: 3809] [Date de publication: 14 mars 2024 22:12] [Catégorie(s): Similitude ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Trigonalisation de matrices
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:12

  1. 1 est valeur propre double, \(d_{1} = 1\).

  2. \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\).

  3. \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).

  4. \(\begin{pmatrix}1&0&6\\ 0&0&-4\\ 0&0&1\end{pmatrix}\).

  5. \(X = \begin{pmatrix}{(6\alpha t + \gamma )e^t + 2\beta } \\ {(6\alpha t + \gamma + 3\alpha )e^t + \beta } \\ {(6\alpha t + \gamma - \alpha )e^t + 2\beta } \\\end{pmatrix}\).

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