Soit \(\Phi:\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}}) \to \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) un automorphisme d’ev tel que : \(\forall A,B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), \(\Phi([A,B]) = [\Phi(A),\Phi(B)]\)\([X,Y] = XY - YX\). Montrer : \(\forall D\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), (\(D\) est diagonalisable) \(\Leftrightarrow\) (\(\Phi(D)\) est diagonalisable).

Indication : considérer \(\varphi _D\) : \(X \mapsto [D,X]\) et montrer que (\(D\) est diagonalisable) \(\Leftrightarrow\) (\(\varphi _D\) est diagonalisable).


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[ID: 3806] [Date de publication: 14 mars 2024 22:12] [Catégorie(s): Similitude ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Crochet de Lie, Ens Cachan MP\(^*\) 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:12

Si \(D\) est diagonalisable alors les applications \(X\mapsto DX\) et \(X\mapsto XD\) le sont (annulateur scindé à racines simples) et elles commutent, donc elles sont simultanément diagonalisables et leur différence, \(\varphi _D\), est aussi diagonalisable.

Pour la réciproque, on commence par constater que si \(P\) est un polynôme quelconque, alors : \[\forall X\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}}) ,\ P(\varphi _D)(X) = \sum_{k=0}^{\deg(P)} (-1)^kD^kX\dfrac{P^{(k)}(D)}{k!} = \sum_{k=0}^{\deg(P)} (-1)^k\dfrac{P^{(k)}(D)}{k!}XD^k.\] (formule du binôme pour \(P=X^m\) et linéarité de chaque membre par rapport à \(P\) pour \(P\) quelconque).

Supposons \(\varphi _D\) diagonalisable, prenons \(P\) annulateur scindé à racines simples de \(\varphi _D\), \(X=U^tV\)\(U\) est un vecteur propre de \(D\) associé à une certaine valeur propre \(\lambda\) et \(V\) un vecteur arbitraire. Donc : \[0 = \sum_{k=0}^{\deg(P)} (-1)^k\lambda ^kU^tV\dfrac{P^{(k)}(D)}{k!} = U^tV\sum_{k=0}^{\deg(P)} (-1)^k\lambda ^k\dfrac{P^{(k)}(D)}{k!} = U^tVP(D-\lambda I).\] Comme \(U\neq 0\), ceci implique \({ }^tVP(D-\lambda I) = 0\) pour tout \(V\), donc \(P(D-\lambda I) = 0\). Ainsi \(D-\lambda I\) est diagonalisable et \(D\) itou.


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