Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) finie, \(p\) un projecteur de rang \(r\) et \[\varphi : \mathcal L (E) \rightarrow \mathcal L (E), u \mapsto {1/2}(p\circ u + u\circ p).\]

  1. Est-ce que \(\varphi\) est diagonalisable ?

  2. Déterminer les valeurs propres de \(\varphi\) et les dimensions des sous-espaces propres.


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[ID: 3804] [Date de publication: 14 mars 2024 22:12] [Catégorie(s): Similitude ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\({1/2}(p\circ u + u\circ p)\), Mines MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:12
  1. Oui, les applications \(u\mapsto p\circ u\) et \(u\mapsto u\circ p\) le sont (ce sont des projecteurs) et elles commutent.

  2. Soit \(\mathcal B\) une base de \(E\) obtenue par concaténation d’une base de \(\mathop{\rm Ker}\nolimits p\) et d’une base de \(\mathop{\rm Im}\nolimits p\).

    Si \(\mathop{\rm Mat}\nolimits_\mathcal B (u) = \begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}\) alors \(\mathop{\rm Mat}\nolimits_\mathcal B (\varphi (u)) = \begin{pmatrix}A&B/2\\ C/2&D\end{pmatrix}\), d’où \(\mathop{\rm sp}\nolimits(\varphi ) \subset \{ 0,{1/2},1\}\), \(d_{0} = (n-r)^2\), \(d_{1}=r^2\) et \(d_{1/2} = 2r(n-r)\).


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\({1/2}(p\circ u + u\circ p)\), Mines MP 2003
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