Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) (ev de dimension finie sur \(\mathbb{K}\)) tel que \(\chi_f\) soit irréductible. Montrez que pour aucun endomorphisme \(g\) le crochet de Lie \([f,g] = f\circ g - g\circ f\) n’est de rang un.


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[ID: 3802] [Date de publication: 14 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Endomorphismes de composition ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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X MP\(^*\) 2001
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:10

Supposons qu’il existe \(g\in \mathcal L (E)\) tel que \(\mathop{\rm rg}\nolimits(f\circ g - g\circ f) = 1\). Alors il existe \(l \in E^*\) et \(a\in E\) tous deux non nuls tels que : \[\forall x\in E,\ f(g(x)) - g(f(x)) = l (x)a.\] D’où par récurrence sur \(k\) : \[\forall x\in E,\ f^k(g(x)) - g(f^k(x)) = l (x)f^{k-1}(a) + l (f(x))f^{k-2}(a) +\dots+ l (f^{k-1}(x))a.\]

Comme \(\chi_f\) est irréductible, le sous-espace \(f\)-monogène engendré par \(a\) est égal à \(E\), soit : \((a,\dots,f^{n-1}(a))\) est une base de \(E\) avec \(n=\dim E\) et \(f^n (a) = \alpha _{0} a +\dots+ \alpha _{n-1}f^{n-1}(a)\).

Alors \(\mu _f(f) = f^n -\alpha _{n-1}f^{n-1} - \dots- \alpha _{0} f^0 = 0\) et : \[\forall x\in E,\ 0 = \mu _f(f)(g(x)) - g(\mu _f(f)(x)) = l (x)f^{n-1}(a) +\dots+ l (f^{n-1}(x) - \dots- \alpha _{1}x)a.\] Ceci implique \(l (x) = 0\) pour tout \(x\), en contradiction avec l’hypothèse \(\mathop{\rm rg}\nolimits(f\circ g - g\circ f) = 1\).


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