Soit \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle, \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie et \(f,g\in \mathcal L (E)\), \(\alpha \in \mathbb{K}^*\) tels que \(f\circ g - g\circ f = \alpha f\).

  1. Montrer pour tout entier naturel \(n\) : \(f^n \circ g - g\circ f^n = n\alpha f^n\).

  2. Montrer qu’il existe \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(f^n = 0\) (raisonner par l’absurde et considérer l’application \(h \mapsto h\circ g - g\circ h\) de \(\mathcal L (E)\) dans \(\mathcal L (E)\)).

  3. Donner un contre-exemple avec \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\neq 0\).


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[ID: 3800] [Date de publication: 14 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Endomorphismes de composition ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(f\circ g - g\circ f = \alpha f\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:10
  1. \(\mathbb{K}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(\mathop{\rm Mat}\nolimits(f)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), \(\mathop{\rm Mat}\nolimits(g)=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\).


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