Soient \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle, \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev non nul et \(u,v\) deux endomorphisme de \(E\) tels que \(u\circ v - v\circ u = \mathop{\rm id}\nolimits_E\).

  1. Simplifier \(u^k\circ v - v\circ u^k\) pour \(k\in \mathbb{N}\) puis \(P(u)\circ v - v\circ P(u)\) pour \(P\in \mathbb{K}[X]\).

  2. Montrer que \(u\) et \(v\) n’ont pas de polynômes minimaux.


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[ID: 3798] [Date de publication: 14 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Endomorphismes de composition ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(u\circ v - v\circ u = \mathop{\rm id}\nolimits\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:10
  1. Pour \(P\in \mathbb{K}[X]\) on a \(P(u)\circ v - v\circ P(u) = P'(u)\).


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\(u\circ v - v\circ u = \mathop{\rm id}\nolimits\)
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