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** Centrales MP
\(v\mapsto v\circ u\), Centrale MP 2003
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in \mathcal L (E)\). On considère l’application \(\Phi_u\) qui à \(v\in \mathcal L (E)\) associe \(v\circ u\).
Montrer que \(\Phi_u\in \mathcal L (\mathcal L (E))\).
Montrer l’équivalence : (\(u\) est diagonalisable) \(\Leftrightarrow\) (\(\Phi_u\) est diagonalisable)
en considérant les polynômes annulateurs de \(u\) et de \(\Phi_u\).
en considérant les spectres et sous-espaces propres de \(u\) et de \(\Phi_u\).
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[ID: 3793] [Date de publication: 14 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Endomorphismes de composition ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(v\mapsto v\circ u\),
Centrale MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:09
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:09
Pour \(p\in \mathbb{K}[X]\) on a \(P(\Phi_u) = v\mapsto v\circ P(u)\) donc \(u\) et \(\Phi_u\) ont mêmes polynômes annulateurs.
\((\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(\Phi_u)) \Leftrightarrow (\exists v\neq 0\text{ tq }v\circ (u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E) = 0) \Leftrightarrow (u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E\) n’est pas surjectif\() \Leftrightarrow (\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(u))\). Ainsi \(\Phi_u\) et \(u\) ont même spectre. Si \(\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(u)\) et \(v\in \mathcal L (E)\) on a : \[(\Phi_u(v) = \lambda v) \Leftrightarrow (\mathop{\rm Im}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E) \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits v)\] donc \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(\Phi_u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_{\mathcal L (E)})\) est isomorphe à \(\mathcal L (H,E)\) où \(H\) est un supplémentaire de \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E)\). On en déduit : \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits(\Phi_u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_{\mathcal L (E)})) = \dim(E)\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits_E)\).
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