Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{Z}})\) telle qu’il existe \(p\in \mathbb{N}\) vérifiant \(A^p=I_n\). On suppose de plus qu’il existe \(m\geq 3\) tel que, pour tous \(i,j\), \(m\) divise \([A-I_n]_{i,j}\). Déterminer \(A\).

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[ID: 3790] [Date de publication: 14 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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\(A^p=I_n\), Mines 2015
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:09

On écrit \(A=I_n+mB\) avec \(B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{Z}})\). Les valeurs propres de \(B\) sont de la forme \(\dfrac{e^{2ik\pi /p}-1}m\) avec \(k\in \mathbb{Z}\) ; elles ont un module inférieur ou égal à \(2/m<1\). Le produit des valeurs propres non nulles, s’il y en a, est au signe près le coefficient de plus bas degré de \(\chi_B\) donc un entier. On en déduit que \(\mathop{\rm sp}\nolimits(B)\subset \{ 0\}\) et \(B\) est \(\mathbb{C}\)-diagonalisable, comme \(A\), d’où \(B=0\) et \(A=I_n\).

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