Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev de dimension finie \(n\geq 1\). Soit \(P=X^2 +\alpha X+\beta \in \mathbb{R}[X]\) sans racine réelle et \(f\in \mathcal L (E)\) tel que \(P(f)=0\). Le but de l’exercice est de prouver qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale par blocs avec pour blocs diagonaux \(\begin{pmatrix}0&1\\-\beta &-\alpha \end{pmatrix}\).

  1. Montrer que \(f\) n’admet aucune valeur propre puis que \(n\) est pair.

  2. Soit \(x\in E\) non nul et \(y=f(x)+\alpha x\). On note \(H_x=〈x,y〉\). Montrer que \(H_x\) est un plan stable par \(f\) et que c’est le plus petit sev de \(E\) stable par \(f\) et contenant \(x\).

  3. Prouver la propriété annoncée.

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[ID: 3786] [Date de publication: 14 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(f^2 +\alpha f+\beta \mathop{\rm id}\nolimits=0\), Centrale 2015
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:09

  1. Toute valeur propre de \(f\) doit être racine de \(P\), d’où \(\mathop{\rm sp}\nolimits(f)=\emptyset\). En dimension impaire, \(\chi_f\) est de degré impair donc admet au moins une racine réelle ; c’est absurde.

  2. Immédiat.

  3. La matrice de la restriction de \(f\) à \(H_x\) dans la base \((y,x)\) est \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-\beta &-\alpha \\\end{pmatrix}\). Supposons avoir trouvé un sev \(F\) stable par \(f\) et une base de \(F\) dans laquelle la matrice de la restriction de \(f\) est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux égaux à \(A\). Si \(F=E\) le problème est résolu. Sinon, on choisit \(x\in E\setminus F\) et on considère le plan \(H_x\). Il est en somme directe avec \(F\) car \(F\cap H_x\) est un sev non trivial de \(H_x\) stable par \(f\) donc de dimension impaire. Le sev \(F\oplus H_x\) vérifie la même propriété que \(F\) (stable par \(f\) et la restriction est diagonalisable par blocs avec des blocs diagonaux égaux à \(A\)). On peut donc continuer jusqu’à atteindre \(E\).

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\(f^2 +\alpha f+\beta \mathop{\rm id}\nolimits=0\), Centrale 2015
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