Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension \(n\). Soit \(u\in \mathcal L (E)\), \(P\) son polynôme minimal et \(p\) le plus petit exposant de \(X\) dans l’écriture de \(P\).

  1. Si \(p=0\), que dire de \(u\) ?

  2. Si \(p=1\), montrer que \(E=\mathop{\rm Im}\nolimits u \oplus \mathop{\rm Ker}\nolimits u\).

  3. Dans le cas général, montrer que \(E = \mathop{\rm Ker}\nolimits u^p \oplus \mathop{\rm Im}\nolimits u^p\).


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[ID: 3784] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\mathop{\rm Ker}\nolimits u^p \oplus \mathop{\rm Im}\nolimits u^p\), Polytechnique MP\(^*\) 2006
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:08
  1. Que c’est un isomorphisme (et réciproquement).

  2. Soit \(Q(X) = P(X)/X\). On a \(u\circ Q(u)=0\) et \(X,Q\) sont premiers entre eux, d’où \(E=\mathop{\rm Ker}\nolimits u \oplus \mathop{\rm Ker}\nolimits Q(u)\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits u \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits Q(u)\). On conclut avec le théorème du rang.

  3. Même méthode.


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