Le polynôme \(X^4 +X^3+2X^2 +X+1\) peut-il être le polynôme minimal d’une matrice de \(\mathcal M _5(\mathbb{R})\) ?


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[ID: 3782] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Polynôme minimal imposé, Centrale MP 2005
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:08

Le polynôme s’écrit \((X^2 +1)(X^2 +X+1)\). Il n’a donc pas de racine réelle. Or tout élément de \(\mathcal M _{5}(\mathbb{R})\) possède au moins une valeur propre et cette valeur propre devrait être également racine du polynôme minimal. Par conséquent la réponse est non.


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