Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), \((P(A) = 0) \Rightarrow (\mathop{\rm tr}\nolimits(A)\in \mathbb{Z})\).


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[ID: 3778] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Trace entière, X MP\(^*\) 2004
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:08

Aucun polynôme constant ne convient. Si \(P\) est non constant et \(\alpha\) est une racine de \(P\) alors en considérant \(A=\alpha I_n\) on obtient une première condition nécessaire : \(n\alpha \in \mathbb{Z}\). Si \(P\) a une autre racine \(\beta\) alors en prenant \(A = \mathop{\rm diag}\nolimits(\alpha ,\dots,\alpha ,\beta )\) on obtient une deuxième condition nécessaire : \(\beta -\alpha \in \mathbb{Z}\). Ainsi les polynômes \(P\) cherchés ont la propriété suivante : \(\deg(P)\geq 1\) et il existe \(u\in \mathbb{Z}\) tel que toutes les racines de \(P\) sont congrues à \(u/n\) modulo \(1\). Cette condition est clairement suffisante.


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