Soient \(u,v,h\) trois endomorphismes de \(\mathbb{R}^n\) tels que : \[u\circ v = v\circ u,\quad u\circ h - h\circ u = -2u,\quad v\circ h - h\circ v = -2v.\]

  1. Cas particulier, \(n=3\), \(\mathop{\rm Mat}\nolimits(u) = \begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\). Déterminer si \(v\) et \(h\) existent et si oui, les donner.

  2. Cas général.

    1. Que peut-on dire de \(\mathop{\rm tr}\nolimits(u)\) et \(\mathop{\rm tr}\nolimits(v)\) ?

    2. Montrer que \(u\) et \(v\) sont non inversibles. Montrer que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits u\) et \(\mathop{\rm Ker}\nolimits v\) sont stables par \(h\).

    3. Déterminer \(u^k\circ h - h\circ u^k\) pour \(k\in \mathbb{N}\). Déterminer \(P(u)\circ h - h\circ P(u)\) pour \(P\in \mathbb{R}[X]\).

    4. Quel est le polynôme minimal de \(u\) ?

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[ID: 3775] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Centrale PSI 1998
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:08

  1. Calcul Maple : \(h=\begin{pmatrix}c+4&b&a\\ 0&c+2&b\\ 0&0&c\end{pmatrix}\), \(v=ku\).

    1. \(u^k\circ h - h\circ u^k = -2ku^k\), \(P(u)\circ h - h\circ P(u) = -2u\circ P'(u)\).

    2. Si \(P(u) = 0\) alors \(u\circ P'(u) = 0\) donc \(P\) (polynôme minimal) divise \(XP'\) ce qui implique \(P(X) = X^k\) pour un certain \(k\).

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