Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal L (E)\) tel que \(u\circ u = 0\).

  1. Quelle relation y a-t-il entre \(\mathop{\rm Ker}\nolimits u\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits u\) ? Montrer que \(2\mathop{\rm rg}\nolimits u \leq \dim E\).

  2. On suppose ici \(\dim E = 4\) et \(\mathop{\rm rg}\nolimits u = 2\). Montrer qu’il existe une base \((e_{1},e_{2},e_{3} ,e_4)\) de \(E\) telle que : \(u(e_{1}) = e_{2}\), \(u(e_{2}) = 0\), \(u(e_{3} ) = e_4\), \(u(e_4) = 0\).

  3. On suppose \(\dim E = n\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits u = \mathop{\rm Ker}\nolimits u\). Est-ce que \(u\) est diagonalisable ?


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[ID: 3773] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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