Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-ev de dimension \(n\in \mathbb{N}^*\) et \(u_{1},\dots,u_p\) (\(p\geq 2\)) des endomorphismes de \(E\) vérifiant : \[\forall k,\ u_k^2 = -\mathop{\rm id}\nolimits_E,\qquad \forall k\neq l ,\ u_k\circ u_l = -u_l \circ u_k.\]

  1. Montrer que les \(u_k\) sont des automorphismes et qu’ils sont diagonalisables.

  2. Montrer que \(n\) est pair.

  3. Donner le spectre de chaque \(u_k\).

  4. Donner les ordres de multiplicité des valeurs propres des \(u_k\).

  5. Calculer \(\det(u_k)\).


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[ID: 3771] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Endomorphismes anticomutant, Centrale MP 2003
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:08
  1. \(\mathop{\rm sp}\nolimits(u_k)\subset \{ i,-i\}\) d’après la relation \(u_k^2 = -\mathop{\rm id}\nolimits_E\). Si le spectre était réduit à un élément alors \(u_k\) serait scalaire car diagonalisable, mais ceci est incompatible avec la relation d’anticommutation entre \(u_k\) et \(u_l\). Donc \(\mathop{\rm sp}\nolimits(u_k)=\{ i,-i\}\).

  2. \(u_l\) avec \(l \neq k\) échange les sous-espaces propres de \(u_k\) donc ils ont même dimension \(n/2\).


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