Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et \(f_{1},\dots,f_n\), \(n\) applications linéaires toutes non nulles. On suppose : \(\forall (i,j)\in \llbracket 1,n\rrbracket^2\), \(f_i\circ f_j=\delta _{i,j}f_i\). Montrer les \(f_i\) sont toutes de rang un.


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[ID: 3767] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Projecteurs
Par Michel Quercia Emmanuel Vieillard-Baron le 14 mars 2024 22:08

Les \(f_i\) sont des projecteurs commutant deux à deux, ils sont simultanément diagonalisables. Soit \(e_{1}\) tel que \(f_{1}(e_{1}) = e_{1}\) : \(f_i(e_{1}) = f_i\circ f_{1}(e_{1}) = 0\) si \(i\geq 2\) donc les supports des restrictions des \(f_i\) à une base propre commune sont deux à deux disjoints non vides, ce sont des singletons.


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