Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie et \(u \in \mathcal L (E)\).

  1. On suppose \(u\) diagonalisable et on note \(\lambda _{1},\dots,\lambda _p\) ses valeurs propres distinctes.

    1. Montrer qu’il existe des endomorphismes \(u_{1},\dots,u_p\) tels que pour tout polynôme \(P \in \mathbb{K}[X]\), on ait : \(P(u) = \sum_{i=1}^p P(\lambda _i)u_i\).

    2. Montrer qu’il existe un polynôme \(P_i\) tel que \(u_i = P_i(u)\).

  2. Réciproquement, soit \(u,u_{1},\dots,u_p\in \mathcal L (E)\) et \(\lambda _{1},\dots,\lambda _p\in \mathbb{K}\) tels que : \[\forall P\in \mathbb{K}[X],\ P(u) = \sum_{i=1}^p P(\lambda _i) u_i.\] Montrer que \(u\) est diagonalisable et \(\mathop{\rm sp}\nolimits(u) \subset \{ \lambda _{1},\dots,\lambda _p\}\).


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[ID: 3766] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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