Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). On suppose que les valeurs propres de \(A\) sont réelles et qu’il existe \(p \geq 1\) tel que \(A^p = I\). Montrer que \(A^2 = I\).

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[ID: 3764] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(A^p = I\) et \(\mathop{\rm sp}\nolimits(A) \subset \mathbb{R}\Rightarrow A^2 = I\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:08

\(A\) est \(\mathbb{C}\)-diagonalisable (polynôme annulateur à racines simples) \(\Rightarrow \dim(E_{1}) + \dim(E_{-1}) = n\). Les dimensions sont conservées sur \(\mathbb{R}\).

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\(A^p = I\) et \(\mathop{\rm sp}\nolimits(A) \subset \mathbb{R}\Rightarrow A^2 = I\)
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