Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) telle que \(A^n = I\) et \((I,A,\dots,A^{n-1})\) est libre. Montrer que \(\mathop{\rm tr}\nolimits(A) = 0\).


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[ID: 3762] [Date de publication: 14 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(A^n = I\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:08

\(A\) est diagonalisable et a \(n\) valeurs propres distinctes, sinon il existerait un polynôme annulateur de degré inférieur ou égal à \(n-1\). Ces racines sont les \(n\) racines \(n\)-èmes de 1 et leur somme est nulle.


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