Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u \in \mathcal L (E)\) tel que \(\mathop{\rm rg}\nolimits(u)=1\). Montrer que : \[\mathop{\rm Im}\nolimits u \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits u \Leftrightarrow u \text{ n'est pas diagonalisable.}\]


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[ID: 3750] [Date de publication: 14 mars 2024 22:07] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Endomorphisme de rang 1
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:07

Si \(\mathop{\rm Im}\nolimits u\subset \mathop{\rm Ker}\nolimits u\) alors \(u^2 = 0\) donc \(0\) est l’unique valeur propre de \(u\) et \(u\neq 0\) donc \(u\) n’est pas diagonalisable.

Si \(\mathop{\rm Im}\nolimits u \not \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits u\) alors \(\mathop{\rm Im}\nolimits u \cap \mathop{\rm Ker}\nolimits u = \{ 0\}\) et donc \(\mathop{\rm Im}\nolimits u + \mathop{\rm Ker}\nolimits u = E\). Or \(\mathop{\rm Im}\nolimits u\) et \(\mathop{\rm Ker}\nolimits u\) sont des sous-espaces propres de \(u\) donc \(u\) est diagonalisable.


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