Soit \(A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ -1 &1 &-1 &1 \\ -1 &1 &1 &-1 \\ -1 &-1 &1 &1 \\\end{pmatrix}\).

  1. Calculer \(\det A\).

  2. Calculer \((A-xI)(\,{ }^t\!A-xI)\) et en déduire \(\chi_A(x)\).

  3. Montrer que \(A\) est \(\mathbb{C}\)-diagonalisable.


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[ID: 3745] [Date de publication: 14 mars 2024 22:07] [Catégorie(s): Polynôme annulateur ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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INT gestion 94
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:07
  1. \((A-xI)(\,{ }^t\!A-xI) = (x^2 -2x+4)I\), \(\chi_A(x) = (x^2 -2x+4)^2\).

  2. \(\,{ }^t\!A = 2I-A\) donc \((A-xI)((2-x)I-A) = (x^2 -2x+4)I\). En prenant pour \(x\) une des racines du polynôme \(x^2 -2x+4\), on obtient un polynôme scindé à racines simples annulant \(A\).


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