Soit \(n \geqslant 3\) et \(n\) vecteurs de l’espace \(\overrightarrow{a_i}\) vérifiant \(\sum_{i=1}^n \overrightarrow{a_i} = \overrightarrow{0}\). Montrer que \[\sum_{1\leqslant i < j \leqslant n } \overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_j} = \sum_{1\leqslant i < j \leqslant n - 1} \overrightarrow{a_i} \wedge \overrightarrow{a_j}\]


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[ID: 250] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 258
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:46

Puisque la première somme vaut \[\sum_{j=1}^n \Bigl(\sum_{i=1}^{j-1} \overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_j}\Bigr) = \sum_{j=1}^{n-1} \Bigl(\sum_{i=1}^{j-1}\overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_j}\Bigr) + \sum_{i=1}^{n-1} \overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_n}\] et que \[\sum_{i=1}^{n-1} \overrightarrow{a_i}\wedge \overrightarrow{a_n} = \Bigl(\sum_{i=1}^{n-1} \overrightarrow{a_i}\Bigr) \wedge \overrightarrow{a_n} = -\overrightarrow{a_n}\wedge \overrightarrow{a_n} = \overrightarrow{0}\] on en déduit le résultat.


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