Soient quatre vecteurs \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{d}\) de l’espace. Montrer que \[(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}) \times (\overrightarrow{b} . \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{c}) . ( \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}) \times \lVert c \rVert_{ }^2\]


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[ID: 248] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 2
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:46

Calculons \[\begin{aligned} \left(\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{c}\right)\times \left( \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}\right)&= \mathop{\rm det}(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}) \\ &= \mathop{\rm det}(\overrightarrow{c}, \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}, \overrightarrow{a}) \\ &= \bigl[\overrightarrow{c} \wedge (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{c})\bigr] . \overrightarrow{a} \\ &= \bigl[\lVert \overrightarrow{c} \rVert_{ }^2 \overrightarrow{b} - (\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})\overrightarrow{c}\bigr] . \overrightarrow{a} \\ &= \lVert \overrightarrow{c} \rVert_{ }^2 \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}) \end{aligned}\]


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