On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) non-nuls et orthogonaux. Résoudre l’équation vectorielle : \[\begin{cases} \overrightarrow{x}\wedge \overrightarrow{a} &= \overrightarrow{b} \\ \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{x} &= \overrightarrow{a} \end{cases}\]


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[ID: 246] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 860
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:46

Soit \(\overrightarrow{x}\) un vecteur solution. On calcule \(\overrightarrow{b}\wedge(\overrightarrow{x}\wedge \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}\) d’où en utilisant la formule du double produit vectoriel, \((\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a})\overrightarrow{x} - (\overrightarrow{b}.\overrightarrow{x})\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\). Mais puisque \(\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = 0\) et que \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\), on en tire que \(\boxed{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{x} = 0}\). De la même façon, en calculant \(\overrightarrow{a}\wedge(\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{x})\), on trouve que \(\boxed{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x} = 0}\). Puisque le vecteur \(\overrightarrow{x}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{a}\) et à \(\overrightarrow{b}\), il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{x} = \lambda \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}\). Alors en calculant \[\lambda (\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b})\wedge{a} = \lambda\lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2\overrightarrow{b}\] on doit avoir \(\lambda = \dfrac{1}{\lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2}\). De même, en calculant \[\overrightarrow{b}\wedge(\lambda \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}) = \lambda \lVert b \rVert_{ }^2\overrightarrow{a}\] on doit avoir \(\lambda = \dfrac{1}{\lVert \overrightarrow{b} \rVert_{ }^2}\). Par conséquent,

  • Si \(\lVert a \rVert_{ }\neq \lVert b \rVert_{ }\), \(\mathcal{S} = \varnothing\).

  • Si \(\lVert a \rVert_{ } = \lVert b \rVert_{ }\), \(\mathcal{S} = \Bigl\{\dfrac{\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}}{\lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2} \Bigr\}\).

\(\mathcal{S}\) est l’ensemble solution du système étudié.


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